Mathematik heute, Sekundarstufe II, Leistungskurs Lineare Algebra / Analytische Geometrie

By Heinz Griesel, Helmut Postel

Subjects: Analytic Geometry, Algebra, linear algebra

Description: Hinweise für den Lehrer Zielsetzung und inhaltliche Konzeption (1) Eine Analyse von Anwendungen der Linearen Algebra (soweit sie für die Schule geeignet erscheinen) zeigt, daß dabei meistens die elementare Vektoralgebra, eventuell noch die Matrixschreibweise und ein Lösungsverfahren für lineare GLeichungssysteme ausreichen.'Bei entsprechenden Problemen erleichtern bzw. ermöglichen geometrische Vorstellungen die Bearbeitung. Deshalb verfolgt dieser Leistungskurs als zentrale Ziele den Aufbau der Vektorrechnung, eine Einführung in die Matrizenrechnung und die Einübung des Gaußschen Algorithmus als leistungsfähige algebraische Hilfsmittel, - die Anwendung dieser Werkzeuge in der Geometrie des Raumes und der Ebene zur Ausbildung und Pflege geometrischer Vorstellungen. Rein theoretische Überlegungen ordnen sich diesen Zielen unter. Die Behandlung der Linearen Algebra geschieht nicht um ihrer selbst willen, sondern im Hinblick auf mögliche Anwendungen. (2) Vektoren werden als spaltenweise notierte Zahlen-n-tupel eingeführt, die Summe, die Vervielfachung und das Skalarprodukt von Vektoren komponentenweise erklärt. Das Rechnen mit Vektoren ist daher lediglich eine Zusammenfassung gleichartiger Zahlenrechnungen mit Komponenten und hat somit recht konkrete Bedeutung. Eine axiomatische Vektorraumtheorie spielt in diesem Buch keine Rolle. Im Koordinatensystem läßt sich jeder zwei- oder dreidimensionale Vektor durch Pfeile darstellen und umgekehrt jeder Pfeil durch einen solchen Vektor beschreiben. Entsprechende geometrische Deutungen gibt es für die Rechenoperationen. Sie ermöglichen die Anwendung von Vektoren in der Geometrie. Die Mitführung eines Koordinatensystems stört nicht, zumal Koordinaten zur Festlegung und Vorgabe geometrischer Objekte ohnehin benötigt werden. Andererseits erlauben die geometrischen Darstellungen von Vektoren und ihrer Verknüpfungen oft das „Vergessen" der Koordinaten. (3) Wir setzen in der Geometrie den dreidimensionalen Anschauungsraum als gegeben voraus und beschreiben bzw. untersuchen ihn mit den bereitgestellten algebraischen Werkzeugen. Die Geometrie wird also weder axiomatisch deduktiv mittels der Vektorraumtheorie entwickelt noch in einen affinen und einen euklidischen Teil getrennt. Schüler müssen Probleme im Anschauungsraum lösen. Die Notwendigkeit eines lückenlosen deduktiven Aufbaus der Geometrie wird oft begründet mit der Unzuverlässigkeit der Anschauung, mit dem Fehlen exakter Begriffe und gesicherter Beziehungen zwischen ihnen. Eine axiomatische Einführung in die Geometrie über die Vektor- und Punkträume der Linearen Algebra gibt aber der Anschauung keine sicherere Grundlage. Denn diese abstrakten Räume sind Kunstprodukte neben dem Anschauungsraum. Erst nach dessen Präzisierung (außerhalb der Linearen Algebra) läßt sich beurteilen, ob und wie weit jene abstrakten Räume die Anschauung angemessen erfassen. Es kann daher nicht Aufgabe der Linearen Algebra sein, durch erneute Definition vertrauter Begriffe für größere Exaktheit zu sorgen, sondern sie soll die bekannten geometrischen Erscheinungen beschreiben und Berechnungen zugänglich machen. (4) Abbildungen einer Ebene erfassen bzw. erklären wir mit Hilfe eines Quadratrasters in der Ebene und sein Bildraster. Ist dieses ein Parallelogrammraster, liegt eine affine Abbildung vor. Dieser Zugang hat mehrere Vorzüge: - Die konkrete Herstellung von Bildern gelingt ohne Mühe, - Original- und Bildebene dürfen verschieden sein (wie in der Praxis häufig), - Abbildungsgleichungen ergeben sich schnell, - die Übertragung auf den Fall der Abbildung des Raums auf eine Ebene beim Schrägrißverfahren liegt auf der Hand, das Verfahren verweist auf eine Fülle allgemeinerer Abbildungen, wenn man als Bildraster irgendwelche topologischen Bilder eines Quadratrasters zuläßt. (5) Kegelschnitte werden gemeinsam als ebene Schnitte von Drehkegeln eingeführt und dann durch Gleichungen gekennzeichnet. Auch die Charakterisierung als Abstandskurven, das Gewinnen der Brennpunktseigenschaft und von Tangentengleichungen, die Verknüpfung mit bekannten Kurven aus der Mittelstufe erfolgt jeweils für die drei Kegelschnittstypen gemeinsam und läßt so Analogien und Unterschiede deutlich hervortreten.